索引堆及其优化-开发文档-JsSaaS开发平台

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堆

堆的基本存储堆的 shift up 堆的 shift down 基础堆排序优化堆排序索引堆及其优化

二分搜索树

二分搜索树二分搜索树节点的插入二分搜索树节点的查找二分搜索树深度优先遍历二分搜索树层序遍历二分搜索树节点删除二分搜索树的特性

并查集

并查集基础并查集快速查找并查集快速合并并查集 size 的优化并查集 rank 的优化并查集路径压缩

图论

图论基础和表示相邻节点迭代器深度优先遍历与连通分量寻路算法广度优先遍历与最短路径

索引堆及其优化

一、概念及其介绍

索引堆是对堆这个数据结构的优化。

索引堆使用了一个新的 int 类型的数组，用于存放索引信息。

相较于堆，优点如下：

优化了交换元素的消耗。
加入的数据位置固定，方便寻找。

二、适用说明

如果堆中存储的元素较大，那么进行交换就要消耗大量的时间，这个时候可以用索引堆的数据结构进行替代，堆中存储的是数组的索引，我们相应操作的是索引。

三、结构图示

我们需要对之前堆的代码实现进行改造，换成直接操作索引的思维。首先构造函数添加索引数组属性 indexes。

protected T[] data; // 最大索引堆中的数据
protected int[] indexes; // 最大索引堆中的索引
protected int count;
protected int capacity;

相应构造函数调整为，添加初始化索引数组。

...
public IndexMaxHeap(int capacity){
data = (T[])new Comparable[capacity+1];
indexes = new int[capacity+1];
count = 0;
this.capacity = capacity;
}
...

调整插入操作，indexes 数组中添加的元素是真实 data 数组的索引 indexes[count+1] = i。

...
// 向最大索引堆中插入一个新的元素, 新元素的索引为i, 元素为item
// 传入的i对用户而言,是从0索引的
public void insert(int i, Item item){
assert count + 1 <= capacity;
assert i + 1 >= 1 && i + 1 <= capacity;
i += 1;
data[i] = item;
indexes[count+1] = i;
count ++;
shiftUp(count);
}
...

调整 shift up 操作：比较的是 data 数组中父节点数据的大小，所以需要表示为 data[index[k/2]] < data[indexs[k]]，交换 index 数组的索引，对 data 数组不产生任何变动，shift down 同理。

...
//k是堆的索引
// 索引堆中, 数据之间的比较根据data的大小进行比较, 但实际操作的是索引
private void shiftUp(int k){

while( k > 1 && data[indexes[k/2]].compareTo(data[indexes[k]]) < 0 ){
swapIndexes(k, k/2);
k /= 2;
}
}
...

从索引堆中取出元素，对大元素为根元素 data[index[1]] 中的数据，然后再交换索引位置进行 shift down 操作。

...
public T extractMax(){
assert count > 0;
T ret = data[indexes[1]];
swapIndexes( 1 , count );
count --;
shiftDown(1);
return ret;
}
...

也可以直接取出最大值的 data 数组索引值

...
// 从最大索引堆中取出堆顶元素的索引
public int extractMaxIndex(){
assert count > 0;
int ret = indexes[1] - 1;
swapIndexes( 1 , count );
count --;
shiftDown(1);
return ret;
}
...

修改索引位置数据

...
// 将最大索引堆中索引为i的元素修改为newItem
public void change( int i , Item newItem ){
i += 1;
data[i] = newItem;
// 找到indexes[j] = i, j表示data[i]在堆中的位置
// 之后shiftUp(j), 再shiftDown(j)
for( int j = 1 ; j <= count ; j ++ )
if( indexes[j] == i ){
shiftUp(j);
shiftDown(j);
return;
}
}
...

四、Java 实例代码

源码包下载：Download

src/runoob/heap/IndexMaxHeap.java 文件代码：

package runoob.heap;

import java.util.Arrays;

/**
* 索引堆
*/
// 最大索引堆，思路：元素比较的是data数据,元素交换的是索引
public class IndexMaxHeap<T extends Comparable> {

protected T[] data; // 最大索引堆中的数据
protected int[] indexes; // 最大索引堆中的索引
protected int count;
protected int capacity;

// 构造函数, 构造一个空堆, 可容纳capacity个元素
public IndexMaxHeap(int capacity){
data = (T[])new Comparable[capacity+1];
indexes = new int[capacity+1];
count = 0;
this.capacity = capacity;
}

// 返回索引堆中的元素个数
public int size(){
return count;
}

// 返回一个布尔值, 表示索引堆中是否为空
public boolean isEmpty(){
return count == 0;
}

// 向最大索引堆中插入一个新的元素, 新元素的索引为i, 元素为item
// 传入的i对用户而言,是从0索引的
public void insert(int i, T item){

assert count + 1 <= capacity;
assert i + 1 >= 1 && i + 1 <= capacity;

i += 1;
data[i] = item;
indexes[count+1] = i;
count ++;

shiftUp(count);
}

// 从最大索引堆中取出堆顶元素, 即索引堆中所存储的最大数据
public T extractMax(){
assert count > 0;

T ret = data[indexes[1]];
swapIndexes( 1 , count );
count --;
shiftDown(1);

return ret;
}

// 从最大索引堆中取出堆顶元素的索引
public int extractMaxIndex(){
assert count > 0;

int ret = indexes[1] - 1;
swapIndexes( 1 , count );
count --;
shiftDown(1);

return ret;
}

// 获取最大索引堆中的堆顶元素
public T getMax(){
assert count > 0;
return data[indexes[1]];
}

// 获取最大索引堆中的堆顶元素的索引
public int getMaxIndex(){
assert count > 0;
return indexes[1]-1;
}

// 获取最大索引堆中索引为i的元素
public T getItem( int i ){
assert i + 1 >= 1 && i + 1 <= capacity;
return data[i+1];
}

// 将最大索引堆中索引为i的元素修改为newItem
public void change( int i , T newItem ){
i += 1;
data[i] = newItem;
// 找到indexes[j] = i, j表示data[i]在堆中的位置
// 之后shiftUp(j), 再shiftDown(j)
for( int j = 1 ; j <= count ; j ++ )
if( indexes[j] == i ){
shiftUp(j);
shiftDown(j);
return;
}
}

// 交换索引堆中的索引i和j
private void swapIndexes(int i, int j){
int t = indexes[i];
indexes[i] = indexes[j];
indexes[j] = t;
}

//********************
//* 最大索引堆核心辅助函数
//********************
//k是堆的索引
// 索引堆中, 数据之间的比较根据data的大小进行比较, 但实际操作的是索引
private void shiftUp(int k){

while( k > 1 && data[indexes[k/2]].compareTo(data[indexes[k]]) < 0 ){
swapIndexes(k, k/2);
k /= 2;
}
}

// 索引堆中, 数据之间的比较根据data的大小进行比较, 但实际操作的是索引
private void shiftDown(int k){

while( 2*k <= count ){
int j = 2*k;
if( j+1 <= count && data[indexes[j+1]].compareTo(data[indexes[j]]) > 0 )
j ++;

if( data[indexes[k]].compareTo(data[indexes[j]]) >= 0 )
break;

swapIndexes(k, j);
k = j;
}
}

// 测试 IndexMaxHeap
public static void main(String[] args) {

int N = 1000000;
IndexMaxHeap<Integer> indexMaxHeap = new IndexMaxHeap<Integer>(N);
for( int i = 0 ; i < N ; i ++ )
indexMaxHeap.insert( i , (int)(Math.random()*N) );

}
}

上述修改索引位置在查找索引位置我们使用了遍历，效率不高。我们还可以再优化一遍，维护一组 reverse[i] 数组，表示索引 i 在 indexes(堆) 中的位置，把查找的时间复杂度降为 O(1)。

有如下性质：

indexes[i] = j
reverse[j] = i

indexes[reverse[i]] = i
reverse[indexes[i]] = i